Question

【題目】已知各項均為整數的數列滿足，，前6項依次成等差數列， 從第5項起依次成等比數列．

（1）求數列的通項公式；

（2）求出所有的正整數m ，使得．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或．

【解析】

試題分析：（1）本題是等差、等比混合計算題目，解題關鍵是等差數列和等比數列的公共項，由等差數列的定義設，（為整數），根據等比中項列方程得求，進而確定等比數列公比，再寫通項公式；（2）本題考查分段數列的通項公式，當，等式同時涉及等差數列和等比數列的項，故可采取驗證的方法，當時，利用等比數列通項公式得關于的方程，通過研究方程解的情況得出結論．

試題解析：（1） 設數列前6項的公差為，則，（為整數）

又，，成等比數列，所以，

即，得 4 分

當 時，， 6 分

所以，，數列從第5 項起構成的等比數列的公比為2，

所以，當時，．故 8分

（2）由（1）知，數列 為：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，

當時等式成立，即；

當時等式成立，即； 10分

當時等式不成立； 12分

當時，，

若，則，所以 14分

，，從而方程無解

所以 ．故所求或． 16分