【題目】已知函數
，其中
為常數.
（1）求函數
的單調區間；
（2）若
是
的一條切線，求
的值；
（3）已知
為整數，若對任意
，都有
恒成立，求
的最大值.
【答案】（1）若
時，在
上單調遞增；若
時， 
在
上遞減，在
上遞增；（2）
；（3）
.
【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）設切點，利用導數的幾何意義為直線斜率建立方程，從而求出a的值即可；
（3）分離參數k,構造函數利用導數分析其增減性，求出其最小值，問題轉化為只需
即可．
試題解析：（1）函數
的定義域為
.
若
時，則
，所以
在
上單調遞增；
若
時，則當
時， 
，當
時， 
，
所以
在
上遞減，在
上遞增.
（2）設切點為
則：
，解得
.
（3）當
時，對任意
，都有
恒成立等價于
對
恒成立.
令
，則
，
由（1）知，當
時， 
在
上遞增.
因為
，所以
在
上存在唯一零點，
所以
在
上也存在唯一零點，設此零點為
，則
.
因為當
時， 
，當
時， 
，
所以
在
上的最小值為
，所以
又因為
，所以
，所以
.
又因為
為整數且
，所以
的最大值是
.
孟建平錯題本系列答案
超能學典應用題題卡系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】函數f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜ 
）的最高點D的坐標（ 
，2），由D點運動到相鄰最低點時函數曲線與x軸的交點（ 
，0）
（1）求f（x）的解析式
（2）求f（x）的單調增區間．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在區間[ 
，2]上，函數f（x）=x2+px+q與g（x）=2x+ 
在同一點取得相同的最小值，那么f（x）在[ ，2]上的最大值是（ ）
A.
B.
C.8
D.4
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下面四個命題： ①若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面；
②若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交；
③若a∥b，則a，b與c所成的角相等；
④若a⊥b，b⊥c，則a∥c．
其中真命題的個數為（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1
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