Question

【題目】已知函數（其中a為常數）．

（1）當a=1時，求f（x）在上的值域；

（2）若當x∈[0，1]時，不等式恒成立，求實數a的取值范圍；

（3）設，是否存在正數a，使得對于區間上的任意三個實數m，n，p，都存在以f（g（m）），f（g（n）），f（g（p））為邊長的三角形？若存在，試求出這樣的a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）[2，] （2）-＜a＜（3）（-，-）∪（，）

【解析】

（1）當a=1時，f（x）=x+，結合對勾函數的圖象和性質，可得f（x）在[，2]上的值域；

（2）若不等式f（2x）＜2x++4在[0，1]上恒成立，即a＜-2（2x）2+1+2x在[0，1]上恒成立，令t=2x，則t∈[1，2]，y=-2t2+t+1，結合二次函數的圖象和性質，求出函數的最小值，可得實數a的取值范圍；

（3）換元，原問題等價于求實數a的范圍，使得函數在給定的區間上，恒有2ymin＞ymax

解：（1）函數，

當a=1時，f（x）=x+，導數為f′（x）=1-=，

f（x）在[，1]上為減函數，在[1，2]上為增函數，

∴當x=，或x=2時，函數最最大值，當x=1時，函數取最小值2，

故f（x）在[，2]上的值域為[2，]；

（2）若不等式f（2x）＜2x++4在[0，1]上恒成立，

即2x+＜2x++4在[0，1]上恒成立，即a2＜1+42x在[0，1]上恒成立，

1+42x在[0，1]遞增，可得最小值為1+4=5，即a2＜5，解得-＜a＜；

（3）設t=g（x）==-1+在x∈[0，]遞減，可得t∈[，1]，則y=t+，

原問題轉化為求實數a的取值范圍，使得y在區間[，1]上，恒有2ymin＞ymax．

討論：①當0＜a2≤時，y=t+在[，1]上遞增，∴ymin=3a2+，ymax=a2+1，

由2ymin＞ymax得a2＞，∴＜a≤；或-≤a＜-；

②當＜a2≤時，y=t+在[，|a]上單調遞減，在[|a|，1]上單調遞增，

∴ymin=2|a|，ymax=max{3a2+，a2+1}=a2+1，

由2ymin＞ymax得2-＜|a|＜2+，∴＜|a|≤；

③當＜|a|＜1時，y=t+在[，|a|]上單調遞減，在[|a|，1]上單調遞增，

∴ymin=2|a|，ymax=max{3a2+，a2+1}=3a2+，

由2ymin＞ymax得＜|a|＜，∴＜|a|＜1；

④當|a|≥1時，y=t+在[，1]上單調遞減，∴ymin=a2+1，ymax=3a2+，

由2ymin＞ymax得a2＜，∴1≤a2＜；

綜上，a的取值范圍是（-，-）∪（，）．