Question

【題目】已知函數f(x)＝ax＋x2－xlna，a>1.

(1)求證：函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；

(2)對任意x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|≤e－1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）1<a≤e.

【解析】試題分析：(1)根據函數的解析式，得到，由，且時，得到，即可證得函數在單調遞增；

（2）由（1）得到函數的單調性，求解函數的最值，令，可得為單調遞增函數，得，即可得到函數的最值，即可作出證明.

試題解析： (1)證明：f′(x)＝axlna＋2x－lna＝2x＋(ax－1)lna，

由于a>1，故當x∈(0，＋∞)時，lna>0，ax－1>0，所以f′(x)>0，

故函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．

(2)由(1)可知，當x∈(－∞，0)時，f′(x)<0，

故函數f(x)在(－∞，0)上單調遞減．

所以，f(x)在區間[－1,0]上單調遞減，在區間[0,1]上單調遞增．

所以f(x)min＝f(0)＝1， f(x)max＝max{f(－1)，f(1)}，

f(－1)＝＋1＋lna，f(1)＝a＋1－lna，

f(1)－f(－1)＝a－－2lna，

記g(x)＝x－－2lnx，g′(x)＝1＋－＝2≥0，

所以g(x)＝x－－2lnx遞增，故f(1)－f(－1)＝a－－2lna>0，

所以f(1)>f(－1)，于是f(x)max＝f(1)＝a＋1－lna，

故對任意x1，x2∈[－1,1]，|f(x1)－f(x2)|max＝|f(1)－f(0)|＝a－lna，

a－lna≤e－1，所以1<a≤e.