Question

【題目】如圖，已知圓：經(jīng)過橢圓：（）的左右焦點(diǎn)，，與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，且，，三點(diǎn)共線．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)與直線（為原點(diǎn)）平行的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．當(dāng)的面積取到最大值時(shí)，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由，，三點(diǎn)共線可知為圓的直徑，從而可得，在圓方程中令求出即，由勾股定理可求得，由橢圓定義求出的值即可；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，由弦長公式求出，由點(diǎn)到直線的距離公式求出到直線的距離，求出三角形面積表達(dá)式，由基本不等式求最值及取得最值時(shí)的值即可.

試題解析：（Ⅰ），，三點(diǎn)共線，為圓的直徑，且，

．

由，

得，

…（2分）

，

，．（3分）

，，………（4分）

橢圓的方程為．…（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

直線的斜率為（6分）

故設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立得，…………（7分）

設(shè)，，

，，

，．……（8分）

又

……（9分）

點(diǎn)到直線的距離（10分）

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，

此時(shí)直線的方程為．…………（12分）