Question

【題目】已知各項(xiàng)均大于1的數(shù)列{an}滿足：a1= ，an+1= （an+ ），（n∈N*），bn=log5 ．
（1）證明{bn}為等比數(shù)列，并求{bn}通項(xiàng)公式；
（2）若cn= ，Tn為{cn}的前n項(xiàng)和，求證：Tn＜6．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由an+1= （an+ ），可得：

bn+1=log5 =log5 =log5（ ）2=2log5 ，

即有 = =2，

則{bn}是首項(xiàng)為b1=log5 =1，公比為2的等比數(shù)列；

且bn=b1qn﹣1=2n﹣1；

（2）證明：cn= = =（n+1）（ ）n﹣1，

可得Tn=21+3 +4（ ）2+…+（n+1）（ ）n﹣1，

Tn=2 +3（ ）2+4（ ）3+…+（n+1）（ ）n，

兩式相減可得， Tn=2+[ +（ ）2+（ ）3+…+（ ）n﹣1]﹣（n+1）（ ）n

=2+ ﹣（n+1）（ ）n=3﹣ ﹣ ，

則Tn=6﹣ ＜6成立．

【解析】（1）運(yùn)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的定義，可得 =2，即可得證，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到所求；（2）求得cn= =（n+1）（ ）n﹣1 ， 運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式可得Tn ， 由不等式的性質(zhì)即可得證．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）和數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握通項(xiàng)公式：；數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系才能正確解答此題．