Question

【題目】已知雙曲線 的兩個焦點為 的曲線C上．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）記O為坐標原點，過點Q（0，2）的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，若△OEF的面積為 ，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）：依題意，由a2+b2=4，得雙曲線方程為 （0＜a2＜4），

將點（3， ）代入上式，得 ．解得a2=18（舍去）或a2=2，

故所求雙曲線方程為 ．

（Ⅱ）：依題意，可設直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，

得（1﹣k2）x2﹣4kx﹣6=0．

∵直線I與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，

∴

∴k∈（﹣ ）∪（1， ）．

設E（x1，y1），F（x2，y2），則由①式得x1+x2= ，x1x2=﹣ ，

于是，|EF|=

=

而原點O到直線l的距離d= ，

∴S△OEF= ．

若S△OEF= ，即 ，解得k=± ，

滿足②．故滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為y= 和

【解析】（1）根據題意可得a2+b2=4，得到a和b的關系，把點（3， ）代入雙曲線方程，求得a，進而根據a2+b2=4求得b，雙曲線方程可得．（2）可設直線l的方程為y=kx+2，代入雙曲線C的方程并整理，根據直線I與雙曲線C相交于不同的兩點E、F，進而可得k的范圍，設E（x1，y1），F（x2，y2），根據韋達定理可求得x1+x2和x1x2，進而表示出|EF|和原點O到直線l的距離根據三角形OEF的面積求得k，進而可得直線方程．