Question

已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)在上是增函數(shù)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；
(Ⅱ)若，且，設(shè),求函數(shù)在上的最大值和最小值.

Answer 1

(Ⅰ)；(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)且時(shí)，，.

試題分析：(Ⅰ)利用函數(shù)在上是增函數(shù)可知在恒成立，從而確定的取值范圍；(Ⅱ)先求出，然后分和兩類(lèi)進(jìn)行討論，從而得出函數(shù)在上的最大值和最小值.注意化歸轉(zhuǎn)化和分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用.
試題解析：(Ⅰ)解:由題設(shè)可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，
所以,當(dāng)時(shí)，不等式即恒成立----2分
因?yàn)?當(dāng)時(shí)，的最大值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是-----4分
(Ⅱ) 解: ，，
所以,     6分
（1）若,則，在上, 恒有，所以在上單調(diào)遞減
，    7分
(2) 時(shí)
（i）若，在上,恒有，所以在上單調(diào)遞減，

    10分
（ii)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023742144456.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，，所以，
所以在上單調(diào)遞減

    12分
綜上所述：當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)且時(shí)，，.    13分