Question

【題目】已知動圓過定點，且圓心到直線的距離比大.

（1）求動圓圓心的軌跡的方程；

（2）已知軌跡與直線相交于兩點.試問，在軸上是否存在一個定點使得是一個定值？如果存在，求出定點的坐標和這個定值；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，定點，

【解析】

（1）利用拋物線的定義即可；

（2）假設在軸上存在一個定點，設，，由直線方程和拋物線方程聯立得到，，而，將根與系數的關系代入化簡即可得到答案.

（1）∵動圓過定點，且圓心到直線的距離比大，

∴動圓到直線的距離等于圓心到定點的距離，

∴動圓圓心的軌跡是以定點為焦點，以定直線為準線的拋物線，

∴動圓圓心的軌跡的方程是；

（2）假設在軸上存在一個定點，使得是一個定值，

設，由，且由條件知，

得，代入，消去得：，

恒成立，，，

，

若是一個定值，則，

故在軸上存在一個定點，使得.