Question

【題目】已知函數.

（1）若是的一個極值點，判斷的單調性；

（2）若有兩個極值點，，且，證明：.

Answer 1

【答案】（1）在單調遞減，在單調遞增.（2）見解析

【解析】

（1）求出導函數，由極值點求出參數，確定的正負得的單調性；

（2）求出，得極值點滿足：

所以，由（1）即，不妨設.要證，則只要證，而，因此由的單調性，只要能證，即即可．令，利用導數的知識可證得結論成立．

（1）由已知得.

因為是的一個極值點，所以，即，

所以，

令，則，

令，得，令，得；

所以在單調遞減，在單調遞增，

又當時，，，

所以當時，，當時，；

即在單調遞減，在單調遞增.

（2），因此極值點滿足：

所以由（1）即，不妨設.

要證，則只要證，而，因此由的單調性，只要能證，即即可．

令，

則，

當時，，，，所以，

即在單調遞增，又，

所以，

所以，即，

又，，在單調遞增，

所以，即.