Question

【題目】如圖，平面四邊形為直角梯形，，，，將繞著翻折到.

（1）為上一點，且，當平面時，求實數的值；

（2）當平面與平面所成的銳二面角大小為時，求與平面所成角的正弦.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）連接交于點，連接，利用線面平行的性質定理可推導出，然后利用平行線分線段成比例定理可求得的值；

（2）取中點，連接、，過點作，則，作于，連接，推導出，，可得出為平面與平面所成的銳二面角，由此計算出、，并證明出平面，可得出直線與平面所成的角為，進而可求得與平面所成角的正弦值.

（1）連接交于點，連接，

平面，平面，平面平面，，

在梯形中，，則，，

，，所以，；

（2）取中點，連接、，過點作，則，作于，連接.

為的中點，且，，且，

所以，四邊形為平行四邊形，由于，，

，，，，，

為的中點，所以，，，同理，

，，，平面，

，，，為面與面所成的銳二面角，

，

，，，則，

，，

平面，平面，，

，，面，

為與底面所成的角，

，，.

在中，.

因此，與平面所成角的正弦值為.