Question

【題目】已知橢圓 （）的焦距為4，左、右焦點(diǎn)分別為，且 與拋物線： 的交點(diǎn)所在的直線經(jīng)過(guò).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過(guò) 的直線 與交于兩點(diǎn)，與拋物線無(wú)公共點(diǎn)，求的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)焦距確定焦點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱性得與拋物線： 的交點(diǎn)所在的直線為,即得一個(gè)交點(diǎn)為，代入橢圓方程，結(jié)合可解得， ；（2）先設(shè)直線： ，由直線與拋物線無(wú)公共點(diǎn)，利用判別式小于零得.由弦長(zhǎng)公式可求底邊AB長(zhǎng)，利用點(diǎn)到直線距離可得高，代入面積公式可得，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)確定其值域.

試題解析：（Ⅰ）依題意得，則， .

所以橢圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為，

于是 ，從而.

又，解得

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）依題意，直線的斜率不為0，設(shè)直線： ，

由，消去整理得，由得.

由，消去整理得，

設(shè)， ，則， ，

所以 ，

到直線距離，

故 ，

令，則 ，

所以三邊形的面積的取值范圍為.