Question

【題目】已知函數 在（1，+∞）上是增函數，且a＞0．
（Ⅰ）求a的取值范圍；
（Ⅱ）求函數g（x）=ln（1+x）﹣x在[0，+∞）上的最大值；
（Ⅲ）已知a＞1，b＞0，證明： ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）的導數為 ，
因為函數f（x）在（1，+∞）上是增函數，
所以 ≥0在（1，+∞）上恒成立，
即 在（1，+∞）上恒成立，
所以只需 ，
又因為a＞0，所以a≥1．
（Ⅱ）因為x∈[0，+∞），所以 ，
所以g（x）在[0，+∞）上單調遞減，
所以g（x）=ln（1+x）﹣x在[0，+∞）上的最大值為g（0）=0．
（Ⅲ）證明：因為a＞1，b＞0，所以 ，由（Ⅰ）知 在（1，+∞）上是增函數，
所以 ，即 ，化簡得 ，又因為 ，
由第（Ⅱ）問可知 ，即 ，
綜上 得證
【解析】（Ⅰ）求導，由題意可知 ≥0在（1，+∞）上恒成立，則即可求得a的取值范圍；（Ⅱ）由 ，則g（x）在[0，+∞）上單調遞減，求得g（x）最大值；（Ⅲ）由（Ⅰ）知 在（1，+∞）上是增函數，則 ，化簡得 ，由（Ⅱ）可知 ，即 ．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．