Question

【題目】設函數f（x）=lnx﹣ax2+ax，a為正實數．
（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）求證：f（ ）≤0；
（3）若函數f（x）有且只有1個零點，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=2時，f（x）=lnx﹣2x2+2x，f′（x）= ﹣2x+2，

∴f′（1）=1，

∵f（1）=0，

∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是y=x

（2）證明：f（ ）=﹣lna﹣ +1（a＞0），

令g（x）=﹣lnx﹣ +1（x＞0），則g′（x）= ，

∴0＜x＜1時，g′（x）＞0，函數單調遞增；x＞1時，g′（x）＜0，函數單調遞減，

∴x=1時，函數取得極大值，即最大值，

∴g（x）≤g（1）=0，

∴f（ ）≤0；

（3）解：由題意可知，函數f（x）有且只有1個零點為（1，0），

則f′（1）=0，即1﹣2a+a=0

∴a=1

【解析】（1）求導數，確定切線的斜率，切點坐標，可得切線方程；（2）構造函數，確定函數的單調性與最值，即可證明結論；（3）由題意可知，函數f（x）有且只有1個零點為（1，0），則f′（1）=0，即可得出結論．