Question

【題目】如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，P，Q分別是AA1 ， B1C1上的點，且AP=3A1P，B1C1=4B1Q．
（1）求證：PQ∥平面ABC1；
（2）若AB=AA1 ， BC=3，AC1=3，BC1= ，求證：平面ABC1⊥平面AA1C1C．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在BB1取點E，使BE=3EB1，連結PE、QE，

∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，P，Q分別是AA1，B1C1上的點，且AP=3A1P，B1C1=4B1Q，

∴PE∥AB，QE∥BC1，

∵AB∩BC1=B，PE∩QE=E，AB、BC1平面ABC1，

PE、QE平面PQE，

∴平面ABC1∥平面PQE，

∵PQ平面PQE，∴PQ∥平面ABC1．

（2）解：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，

∴AB⊥CC1，BC⊥CC1，

∵AB=AA1，BC=3，AC1=3，BC1= ，

∴AB=AA1=CC1= =2，AC= = = ，

∴AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，

又AC∩CC1=C，∴AB⊥平面AA1C1C，

∵AB平面ABC1，∴平面ABC1⊥平面AA1C1C．

【解析】（1）在BB1取點E，使BE=3EB1，連結PE、QE，推導出平面ABC1∥平面PQE，由此能證明PQ∥平面ABC1．（2）推導出AB⊥CC1，BC⊥CC1，AB⊥AC，從而AB⊥平面AA1C1C，由此能證明平面ABC1⊥平面AA1C1C．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對平面與平面垂直的判定的理解，了解一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．