Question

【題目】已知斜率為1的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)直線交軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，連接并延長交于點(diǎn).除以外，直線與是否有其它公共點(diǎn)？請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)A，B坐標(biāo)，將A,B坐標(biāo)代入曲線C的方程，利用點(diǎn)差法計(jì)算即可得到p值；

（2）先求坐標(biāo)，得到直線MH方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式可得結(jié)論．

（1）設(shè) ，，直線的斜率為，又因?yàn)?/span>，都在曲線上，

所以 ① ②

-得，

由已知條件得，得，

所以拋物線的方程是．

（2）由題意，可知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，

從而可得直線的方程為，聯(lián)立方程，

解得，．依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于，，可得直線的方程為，

聯(lián)立方程，整理得，

則，從而可知和只有一個(gè)公共點(diǎn)．