Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，，，，點是的中點.

（1）求異面直線與所成角的余弦值；

（2）求平面與所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）以為單位正交基底建系，找出與的坐標，用向量法來求解異面直線與所成角；

（2）由（1）中建系可知，平面的一個法向量為，再設出平面的法向量，則與平面內的兩個不共線向量乘積為0，從而求得，再來求出兩個法向量夾角余弦值，進而通過三角函數平方和為1，求得兩個平面夾角的正弦值.

（1）以為單位正交基底建立空間直角坐標系，

則由題意知，，，

，，，

∴，，

∴，

∴異面直線與所成角的余弦值為.

（2） 是平面的一個法向量，

設平面的法向量為，

∵，

∴，取，得，，

∴平面的法向量為，

設平面與所成二面角為，

∴，

∴sinθ.

∴平面ADC1與ABA1所成二面角的正弦值為.