Question

【題目】

已知在與時都取得極值．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求的單調區間和極值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）f （x）的遞增區間為和（1，＋∞），遞減區間為．當x＝－時，f（x）有極大值f＝；當x＝1時，f（x）有極小值f（1）＝－．

【解析】

（1）因為函數在極值點處導數等于0，所以若f（x）在與時，都取得極值，則就可得到a，b的值；（2）先由求出函數中的c值，再求導數，令導數大于0，解得x的范圍是函數的增區間，令導數小于0，解得x的范圍是函數的減區間，增區間與減區間的分界點為極值點，且當極值點左側導數大于0，右側導數小于0時取得極大值，當極值點左側導數小于0，右側導數大于0時取得極小值，再把x的值代入原函數求出極大值與極小值

試題解析：f′（x）＝3x2＋2ax＋b＝0．由題設知x＝1，x＝－為f′（x）＝0的解．∴ －a＝1－，＝1×．∴ a＝－，b＝－2．經檢驗，這時x＝1與x＝－都是極值點．

（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，由f（－1）＝－1－＋2＋c＝，得c＝1．∴ f （x）＝x3－x2－2x＋1．

x				1
	+	0	-	0	+
	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

∴ f （x）的遞增區間為和（1，＋∞），遞減區間為．當x＝－時，f（x）有極大值f＝；當x＝1時，f（x）有極小值f（1）＝－．