Question

【題目】設是實數，函數 ．

（1）求證：函數不是奇函數；

（2）當時，解關于的不等式；

（3）求函數的值域（用表示）．

Answer 1

【答案】(1) 證明見解析(2)時，不等式解集為；時，不等式解集為 (3)時，函數值域為；時，函數值域為；時，函數值域為

【解析】

（1）可以用反證法進行證明，假設是奇函數，應有，而，所以函數不是奇函數；

（2）因為，所以當時，不等式可以化為即

，因為，所以，即，對和的情況進行分類討論，解不等式；

（3）令，則且，對和的情況進行分類討論，去絕對值符號，得到兩種情況下的函數解析式，再分別計算函數值域

解：（1）假設是奇函數，那么對于一切恒成立，可得，而，所以函數不是奇函數

（2）因為，所以當時，不等式可以化為即

，因為，所以，即

①當，即時，不等式恒成立，故的取值范圍是．

②當，即時，不等式得，故的取值范圍是

（3）令，則且．

①若，則是增函數，其取值范圍為；

②若，則

對于，有．當時，是減函數，取值范圍是；當時，的最小值是，取值范圍是（時）或者取值范圍是（時）

對于，有是增函數，其取值范圍為

綜上所述，當時，值域為；當時，值域為；當時，值域為．