Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，離心率為的橢圓的左頂點為，過原點的直線（與坐標軸不重合）與橢圓交于兩點，直線分別與軸交于， 兩點.若直線斜率為 時， .

(1)求橢圓的標準方程；

(2)試問以為直徑的圓是否經過定點（與直線的斜率無關）？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）；（2）以為直徑的圓過定點.

【解析】試題分析：第一問根據橢圓的離心率和對應的弦長，求出對應的的值，從而得出橢圓的方程，第二問設出兩點的坐標，從而求得直線和直線的方程，從而求得點的坐標，從而寫出以為直徑的圓的方程，根據點在橢圓上，以及曲線過定點的條件，從而求得所過的定點的坐標．

試題解析：（Ⅰ）設，

∵直線斜率為時， ，

∴，

∴

∴，

∵，∴．

∴橢圓的標準方程為．

（Ⅱ）以為直徑的圓過定點．

設，則，且，即，

∵，∴直線方程為： ，

∴，

直線方程為： ，∴，

以為直徑的圓為

即，

∵，∴，

令， ，解得，

∴以為直徑的圓經過定點： ．