Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）過原點作曲線的切線，求切線方程；

（Ⅱ）當時，討論曲線與曲線公共點的個數．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）當時，有0個公共點；當時，有1個公共點；當時，有2個公共點．

【解析】【試題分析】（1）依據題設借助導數的幾何意義分析求解；（2）先將零點的個數化為方程根的個數，再將方程問題轉化為函數的圖像問題，最后通過構造函數，運用導數的知識分析求解：

（Ⅰ）由題意，設切點為，由題意可得

，即，解得，即切點．

所以，所以切線方程為．

（Ⅱ）當， 時，曲線與曲線的公共點個數

即方程根的個數．

由得．

令，則，令，解得．

隨變化時， ， 的變化情況如下表：

		2
	—	0	+
	↘	極小值	↗

其中．所以為在的最小值．

所以對曲線與曲線公共點的個數，討論如下：

當時，有0個公共點；當時，有1個公共點；當時，有2個公共點．