Question

如圖，拋物線C1：y2=4x的焦點到準線的距離與橢圓C2：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的長半軸相等，設橢圓的右頂點為A，C₁，C₂在第一象限的交點為B，O為坐標原點，且△OAB的面積為

2 6

3

（1）求橢圓C₂的標準方程；
（2）過點A作直線l交C₁于C，D兩點，射線OC，OD分別交C₂于E，F兩點．
（I）求證：O點在以EF為直徑的圓的內部；
（II）記△OEF，△OCD的面積分別為S₁，S₂，問是否存在直線l，使得S₂=3S₁？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）p=2，得橢圓的長半軸a=2，由S△OAB=

1

2

×|OA|×yB=

2 6

3

，知yB=

2 6

3

．代入拋物線能求出橢圓C₂方程．
（2）（I）設直線l的方程為：x=my+2，由

x=my+2 y2=4x

，得y²-4my-8=0，利用韋達定理和向量的數量積導出∠COD＞90°，由此能證明O點在以EF為直徑的圓的內部．
（II）

S1

S2

=

1 2 |OC|•|OD|sin∠COD

1 2 |OE|•|OF|sin∠EOF

=

|y1|

|yE|

•

|y2|

|yF|

，直線OC的斜率為

y1

x1

=

4

y1

，故直線OC的方程為x=

y1•y

4

．由此能推導出不存在直線l使得S₂=3S₁

解答：解：（1）p=2，得橢圓的長半軸a=2，
∵S△OAB=

1

2

×|OA|×yB=

2 6

3

，
∴yB=

2 6

3

．
代入拋物線求得B(

2

3

，

2 6

3

)，
∴橢圓C₂方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）（I）設直線l的方程為：x=my+2，
由

x=my+2 y2=4x

，得y²-4my-8=0，
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8，
∴x₁x₂=4，
∴

OC

•

OD

=x1x2+y1y2=-4＜0，
∴∠COD＞90°，
又∵∠EOF=∠COD，
∴∠EOF＞90°，
∴O點在以EF為直徑的圓的內部．
（II）

S1

S2

=

1 2 |OC|•|OD|sin∠COD

1 2 |OE|•|OF|sin∠EOF

=

|y1|

|yE|

•

|y2|

|yF|

，
直線OC的斜率為

y1

x1

=

4

y1

，
∴直線OC的方程為x=

y1•y

4

．
由

x= y1•y 4 x2 4 + y2 3 =1

，
得yE2=

64×3

3y12+64

，yF2=

64×3

3y22+64

，
∴yE2•yF2=

64×32

121+48m

，
∴(

S2

S1

)2=

121+48m2

32

，
∵m∈R，∴

121+48m2

32

≥

112

32

∴

S2

S1

≥

11

3

＞3，
∴不存在直線l使得S₂=3S₁．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查點在圓的內部的證明，探索滿足條件的直線方程是否存在．綜合性強，難度大，對數學思維的要求較高．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理合理運用．