Question

【題目】已知在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=120°，AB=AC=1，AA1=2，若棱AA1在正視圖的投影面α內，且AB與投影面α所成角為θ（30°≤θ≤60°），設正視圖的面積為m，側視圖的面積為n，當θ變化時，mn的最大值是（ ）

A.2
B.4
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：AB與投影面α所成角為θ時，平面ABC如下圖所示：∴BC= ，∠ACE=60°﹣θ，
∴BD=ABsinθ，DA=ABcosθ，AE=ACcos（60°﹣θ），
ED=DA+AE=cos（60°﹣θ）+cosθ
故正視圖的面積為m=ED×AA1=2[cos（60°﹣θ）+cosθ]
側視圖的面積為n=BD×AA1=2sinθ
∴mn=4sinθ[cos（60°﹣θ）+cosθ]
=4sinθ[cos60°cosθ+sinθsin60°）+cosθ]
=sin2θ+2 sin2θ+2sin2θ
=3sin2θ+ ﹣ cos2θ
=2 sin（2θ﹣30°）+
∵30°≤θ≤60°
∴30°≤2θ﹣30°≤90°，
所以：2 ≤mn≤3
故得mn的最大值為3 ．
故選：C．

【考點精析】利用簡單空間圖形的三視圖對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知畫三視圖的原則：長對齊、高對齊、寬相等．