Question

【題目】如圖，在棱長為3的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，A1E=CF=1．

（1）求兩條異面直線AC1與D1E所成角的余弦值；
（2）求直線AC1與平面BED1F所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz如圖所示：

則A（3，0，0），C1=（0，3，3），D1=（0，0，3），E（3，0，2）

∴ =（﹣3，3，3）， =（3，0，﹣1）

∴cosθ= = =﹣

則兩條異面直線AC1與D1E所成角的余弦值為

（2）解：B（3，3，0）， =（0，﹣3，2）， =（3，0，﹣1）

設(shè)平面BED1F的一個(gè)法向量為 =（x，y，z）

由 得

令x=1，則 =（1，2，3）

則直線AC1與平面BED1F所成角的正弦值為

| |= =

【解析】（1）以以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，則我們易求出已知中，各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量 ， 的坐標(biāo)．代入向量夾角公式，結(jié)合異面直線夾角公式，即可得到答案．（2）設(shè)出平面BED1F的一個(gè)法向量為 ，根據(jù)法向量與平面內(nèi)任一向量垂直，數(shù)量積為0，構(gòu)造方程組，求出平面BED1F的法向量為 的坐標(biāo)，代入線面夾角向量公式，即可求出答案．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用異面直線及其所成的角和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則．