Question

【題目】已知函數f（x）=loga（x+1），g（x）=loga ，（a＞0且a≠1）．記F（x）=2f（x）+g（x）．
（1）求函數F（x）的零點；
（2）若關于x的方程F（x）﹣2m2+3m+5=0在區間[0，1）內僅有一解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：F（x）=2f（x）+g（x）= （a＞0且a≠1），

要使函數F（x）有意義，則必須 ，解得﹣1＜x＜1，

∴函數F（x）的定義域為D=（﹣1，1）．

令F（x）=0，則 …（*）

方程變為 ，

∴（x+1）2=1﹣x，即x2+3x=0

解得x1=0，x2=﹣3，

經檢驗x=﹣3是（*）的增根，

∴方程（*）的解為x=0，

∴函數F（x）的零點為0

（2）解：函數 在定義域D上是增函數，可得：

①當a＞1時，F（x）=2f（x）+g（x）在定義域D上是增函數，

②當0＜a＜1時，函數F（x）=2f（x）+g（x）在定義域D上是減函數．

因此問題等價于關于x的方程2m2﹣3m﹣5=F（x）在區間[0，1）內僅有一解．

①當a＞1時，由（2）知，函數F（x）在[0，1）上是增函數，

∴F（x）∈[0，+∞），

∴只需2m2﹣3m﹣5≥0，解得：m≤﹣1，或 ．

②當0＜a＜1時，由（2）知，函數F（x）在[0，1）上是減函數，

∴F（x）∈（﹣∞，0]，

∴只需2m2﹣3m﹣5≤0解得： ，

綜上所述，當0＜a＜1時： ；

當a＞1時，m≤﹣1，或

【解析】（1）利用對數函數和分式函數的定義域即可得出F（x）其定義域，利用零點的意義和對數函數的單調性即可得出；（2）對a分類討論可得函數F（x）的單調性，進而問題等價于關于x的方程2m2﹣3m﹣5=F（x）在區間[0，1）內僅有一解．再利用一元二次不等式的解法即可得出．