Question

【題目】已知橢圓的離心率為,且過點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過橢圓的左焦點的直線與橢圓交于兩點,直線過坐標原點且與直線的斜率互為相反數.若直線與橢圓交于兩點且均不與點重合,設直線與軸所成的銳角為,直線與軸所成的銳角為,判斷與的大小關系并加以證明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據橢圓的離心率為,且過點，結合性質 ，列出關于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得橢圓的方程；（Ⅱ） 與的大小關系只需看兩直線斜率之間的關系，設設，聯立,消去得,利用斜率公式以及韋達定理，化簡可得，直線的傾斜角互補,可得.

試題解析：（Ⅰ）由題可得,解得.

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）結論: ,理由如下:

由題知直線斜率存在,

設.

聯立,

消去得,

由題易知恒成立,

由韋達定理得,

因為與斜率相反且過原點,

設, ,

聯立

消去得,

由題易知恒成立,

由韋達定理得,

因為兩點不與重合,

所以直線存在斜率,

則

所以直線的傾斜角互補,

所以.