Question

【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）求過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程；

（Ⅱ）設(shè)，其中為非零實(shí)數(shù)，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析

【解析】試題分析：（1）求出 的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，可得切線的斜率，由兩點(diǎn)的斜率公式，解方程可得切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到所求的切線的方程；（2）求出 解析式和導(dǎo)數(shù)，討論 ，求出極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間，由 等價(jià)于，由可得，即證明

，由可得 ，即證明，構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)單調(diào)性，即可證。

解：（Ⅰ）

設(shè)切點(diǎn)為，則切線的斜率為

點(diǎn)在上，

，解得

切線的斜率為，切線方程為

（Ⅱ）

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，由得，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，由得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，即，

，由得，

由

，即證明

即證明

構(gòu)造函數(shù)，

在上單調(diào)遞增，

又，所以在時(shí)恒成立，即成立

.