Question

【題目】已知函數（a＜0）．

（Ⅰ）當a＝－3時，求f（x）的單調遞減區間；

（Ⅱ）若函數f（x）有且僅有一個零點，求實數a的取值范圍；

Answer 1

【答案】(1) 單調遞減區間為（－3，－2）和（0，＋∞）;(2) a＜0.

【解析】試題分析：(1)解關于導函數的不等式，得到所求的單調減區間；（2）函數f（x）有且僅有一個零點，即函數圖象與x軸有唯一的公共點，利用導函數研究函數圖象走勢即可.

試題解析：

（Ⅰ）∵a＝－3，∴，故

令f′（x）＜0，解得－3＜x＜－2或x＞0，

即所求的單調遞減區間為（－3，－2）和（0，＋∞）

（Ⅱ）∵（x＞a）

令f′（x）＝0，得x＝0或x＝a＋1

（1）當a＋1＞0，即－1＜a＜0時，f（x）在（a，0）和（a＋1，＋∞）上為減函數，在（0，a＋1）上為增函數．

由于f（0）＝aln（－a）＞0，當x→a時，f（x）→＋∞．

當x→＋∞時，f（x）→－∞，于是可得函數f（x）圖像的草圖如圖，

此時函數f（x）有且僅有一個零點．

即當－1＜a＜0對，f（x）有且僅有一個零點；

（2）當a＝－1時，，

∵，∴f（x）在（a，＋∞）單調遞減，

又當x→－1時，f（x）→＋∞．當x→＋∞時，f（x）→－∞，

故函數f（x）有且僅有一個零點；

（3）當a＋1＜0即a＜－1時，f（x）在（a，a＋1）和（0，＋∞）上為減函數，在（a＋1，0）上為增函數．又f（0）＝aln（－a）＜0，當x→a時，f（x）→＋∞，當x→＋∞時，f（x）→－∞，于是可得函數f（x）圖像的草圖如圖，此時函數f（x）有且僅有一個零點；

綜上所述，所求的范圍是a＜0．