Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若不等式時(shí)恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

(1)本題首先可以對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后通過(guò)對(duì)以及兩種情況進(jìn)行分類討論，分別求出每一種情況下函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)果；

(2)本題首先可以將不等式在時(shí)恒成立轉(zhuǎn)化為在時(shí)恒成立，然后令，再對(duì)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分類討論，即可得出結(jié)果。

（1），

①若，，在上單調(diào)遞增；

②若,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為。

（2）由題意可知，不等式可轉(zhuǎn)化為在時(shí)恒成立，

令，

，

①若，則，在上單調(diào)遞減，

所以，不等式恒成立等價(jià)于，即；

②若，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，不符合題意；

③若，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

所以，不符合題意；

綜上所述，。