Question

（2012•長春模擬）圓x²+y²=8內有一點P（-1，2），AB為過點P但不與x軸垂直的弦，O為坐標原點．則

OA

•

OB

的取值范圍

[-8，2]

．

Answer 1

分析：設直線AB方程為y-2=k（x+1），將它與圓方程消去y得關于x的方程，由一元二次方程根與系數關系得x₁+x₂=-

2k2+4k

1+k2

，x₁x₂=

k2+4k-4

1+k2

，再結合直線方程算出y₁y₂=

-7k2+4k+4

1+k2

．由此得到

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-6+

8k+6

1+k2

，利用導數工具討論關于k的函數的單調性與最值，即可得到

OA

•

OB

的取值范圍．

解答：解：設直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y-2=k（x+1）．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由

y-2=k(x+1) x2+y2=8

消去y，
得（1+k²）x²+（2k²+4k）x+k²+4k-4=0
∴x₁+x₂=-

2k2+4k

1+k2

，x₁x₂=

k2+4k-4

1+k2

可得y₁y₂=[k（x₁+1）+2][k（x₂+1）+2]=k²x₁x₂+（k+2）（x₁+x₂）+（k+2）²=

-7k2+4k+4

1+k2

．
從而有

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

k2+4k-4

1+k2

+

-7k2+4k+4

1+k2

=-6+

8k+6

1+k2

設F（k）=

8k+6

1+k2

，則F'（k）=

8(1+k2)-2k(8+6k)

(1+k2)2

=-

4(2k-1)(k+2)

(1+k2)2

∴當k＜-2或k＞

1

2

時，F'（k）＜0；當-2＜k＜

1

2

時，F'（k）＞0
函數F（k）在（-∞，-2）和（

1

2

，+∞）上是減函數，在（-2，

1

2

）上是增函數；
由此可得F（k）的最小值為它的極小值F（-2）=-2，最大值是它的極大值F（

1

2

）=8
∴

OA

•

OB

=-6+

8k+6

1+k2

的最小值為-8，最小值為2
即

OA

•

OB

的取值范圍為[-8，2]
故答案為：[-8，2]

點評：本題在直線與圓相交的情況下，求數量積的取值范圍，著重考查了直線與圓的位置關系和向量數量積的運算等知識，屬于中檔題．