Question

（2012•長春模擬）已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）求證：數列{a_n+1}是等比數列，并寫出數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足4b1-1•4b2-1•4b3-1…4bn-1=(an+1)n，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由題意可得 a_n+1+1=2（a_n+1），數列{a_n+1}是以2為公比、以2為首項的等比數列，求得a_n+1=2ⁿ，從而求得{a_n}的通項公式．
（2）由題意可得 4b1+b2+…+bn-n=（2ⁿ）ⁿ=(2)n2，即 2（b₁+b₂+…+b_n）-2n=n²，由此求得數列{b_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）證明：∵a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），∴a_n+1+1=2（a_n+1）．
又 a₁=1，a₁+1≠0，∴

an+1+1

an+1

=2，
∴數列{a_n+1}是以2為公比、以2為首項的等比數列，
∴a_n+1=2ⁿ，即a_n =2ⁿ-1．
（2）∵4b1-1•4b2-1•4b3-1…4bn-1=(an+1)n，
]∴4b1+b2+…+bn-n=（2ⁿ）ⁿ=(2)n2，
∴2（b₁+b₂+…+b_n）-2n=n²，
∴b₁+b₂+…+b_n=

n2

2

+ n．

點評：本題主要考查等比關系的確定，指數冪的運算性質，屬于中檔題．