Question

（2012•長春模擬）選修4-5；不等式選講
已知函數f（x）=|2x-a|+a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集為{x|-2≤x≤3}，求實數a的值；
（2）在（1）的條件下，若存在實數n使f（n）≤m-f（-n）成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由|2x-a|+a≤6得|2x-a|≤6-a，再利用絕對值不等式的解法去掉絕對值，結合條件得出a值；
（2）由（1）知f（x）=|2x-1|+1，令φ（n）=f（n）+f（-n），化簡φ（n）的解析式，若存在實數n使f（n）≤m-f（-n）成立，只須m大于等于φ（n）的最小值即可，從而求出實數m的取值范圍．

解答：解：（1）由|2x-a|+a≤6得|2x-a|≤6-a，
∴a-6≤2x-a≤6-a，即a-3≤x≤3，
∴a-3=-2，
∴a=1．（5分）
（2）由（1）知f（x）=|2x-1|+1，令φ（n）=f（n）+f（-n），
則φ（n）=|2n-1|+|2n+1|+2=

2-4n，n≤- 1 2 4，- 1 2 ＜n≤ 1 2 2+4n，n＞ 1 2

∴φ（n）的最小值為4，故實數m的取值范圍是[4，+∞）．（10分）

點評：本題考查絕對值不等式的解法，體現了等價轉化的數學思想，利用分段函數化簡函數表達式是解題的關鍵．