Question

【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

已知直線（為參數），曲線（為參數）．

（1）設與相交于兩點，求；

（2）若把曲線上各點的橫坐標壓縮為原來的倍，縱坐標壓縮為原來的倍，得到曲線，設點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最小值．

Answer 1

【答案】（1）的普通方程為， 的普通方程為，（2）

【解析】試題分析：（1）將直線中的x與y代入到直線C1中，即可得到交點坐標，然后利用兩點間的距離公式即可求出|AB|．
（2）將直線的參數方程化為普通方程，曲線C2任意點P的坐標，利用點到直線的距離公式P到直線的距離d，分子合并后利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，與分母約分化簡后，根據正弦函數的值域可得正弦函數的最小值，進而得到距離d的最小值即可．

試題解析：

解：（1）的普通方程為， 的普通方程為，

聯立方程組解得與的交點為，則；

（2）的參數方程為（為參數），故點的坐標是，從而點到直線的距離是，

由此當時， 取得最小值，且最小值為．