Question

【題目】已知公差大于零的等差數列的前項和為，且，．

（1）求數列的通項公式；

（2）若數列是等差數列，且，求非零常數的值．

（3）設，為數列的前項和，是否存在正整數，使得對任意的均成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）因為數列為等差數列，，所以，

又，所以，是方程的兩個根，（2分）

由解得，，

設等差數列的公差為，由題意可得，所以，

所以，，所以，解得，（3分）

所以，故數列的通項公式為．（4分）

（2）由（1）知，，所以，

所以，，，（5分）

因為數列是等差數列，所以，即，

即，解得（舍去），（7分）

當時，，易知數列是等差數列，滿足題意．

故非零常數的值為．（8分）

（3）由題可得，（10分）

利用裂項相消法可得，故，（11分）

所以存在正整數，使得對任意的均成立，

所以的最小值為．（12分）