Question

(本題滿分15分) 設拋物線C₁：x²＝4y的焦點為F，曲線C₂與C₁關于原點對稱．
(Ⅰ) 求曲線C₂的方程；
(Ⅱ) 曲線C₂上是否存在一點P（異于原點），過點P作C₁的兩條切線PA，PB，切點A，B，滿足| AB |是 | FA | 與 | FB | 的等差中項？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由

Answer 1

(Ⅰ)解；因為曲線與關于原點對稱，又的方程，
所以方程為．             
(Ⅱ)解：設，，,．
的導數為，則切線的方程，
又，得，
因點在切線上,故．
同理, ．
所以直線經過兩點，
即直線方程為,即，
代入得，則,，
所以，
由拋物線定義得，．
所以，
由題設知，，即，
解得，從而．
綜上，存在點滿足題意，點的坐標為
 或．

解析