【題目】在如圖所示的多面體中，平面
平面
，四邊形
為邊長為2的菱形， 
為直角梯形，四邊形
為平行四邊形，且
， 
， 
.
（1）若
， 
分別為
， 
的中點，求證： 
平面
；
（2）若
， 
與平面
所成角的正弦值為
，求二面角
的余弦值.
【答案】(1)見解析(2) 
【解析】試題分析：（1）第（1）問，轉化成證明
平面
,再轉化成證明
和
.(2)第（2）問，先利用幾何法找到
與平面
所成角，再根據
與平面
所成角的正弦值為
求出
再建立空間直角坐標系，求出二面角
的余弦值.
試題解析：
（1）連接
,因為四邊形
為菱形，所以
.
因為平面
平面
，平面
平面
， 
平面
， 
，所以
平面
.
又
平面
，所以
.
因為
，所以
.
因為
，所以
平面
.
因為
分別為
， 
的中點，所以
，所以
平面
（2）設
，由（1）得
平面
.
由
， 
，得
， 
.
過點
作
，與
的延長線交于點
，取
的中點
，連接
， 
，如圖所示，
又
，所以
為等邊三角形，所以
，又平面
平面
，平面
平面
， 
平面
，故
平面
.
因為
為平行四邊形，所以
，所以
平面
.
又因為
，所以
平面
.
因為
，所以平面
平面
.
由（1），得
平面
，所以
平面
，所以
.
因為
，所以
平面
，所以
是
與平面
所成角.
因為
， 
，所以
平面
， 
平面
，因為
，所以平面
平面
.
所以
， 
，解得
.
在梯形
中，易證
，分別以
， 
， 
的正方向為
軸， 
軸， 
軸的正方向建立空間直角坐標系.
則
， 
， 
， 
， 
， 
，
由
，及
，得
，所以
， 
， 
.
設平面
的一個法向量為
，由
得
令
，得m=(3,1,2)
設平面
的一個法向量為
，由
得
令
，得
.
所以
又因為二面角
是鈍角，所以二面角
的余弦值是
.
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】改革開放40多年來，城鄉居民生活從解決溫飽的物質需求為主逐漸轉變到更多元化的精神追求，消費結構明顯優化.下圖給出了1983~2017年部分年份我國農村居民人均生活消費支出與恩格爾系數（恩格爾系數是食品支出總額占個人消費支出總額的比重）統計圖.對所列年份進行分析，則下列結論錯誤的是（ ）
A.農村居民人均生活消費支出呈增長趨勢
B.農村居民人均食品支出總額呈增長趨勢
C.2011年至2015年農村居民人均生活消費支出增長最快
D.2015年到2017年農村居民人均生活消費支出增長比率大于人均食品支出總額增長比率
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知正四棱柱
的底面邊長為2，側棱長為4，過點
作平面
與正四棱柱的三條側棱
，
，
分別交于
，
，
，且
，若多面體
和多面體
的體積比為3∶5，則截面
的周長為_________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)＝a－
.
(1)求f(0)；
(2)探究f(x)的單調性，并證明你的結論；
(3)若f(x)為奇函數，求滿足f(ax)<f(2)的x的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
．
（1）若曲線
在
處的切線與直線
垂直，求實數a的值；
（2）若函數
在
上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（3）當
時，若方程
有兩個相異實根
，
，
，求證
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某網站舉行“衛生防疫”的知識競賽網上答題，共有120000人通過該網站參加了這次競賽，為了解競賽成績情況，從中抽取了100人的成績進行統計，其中成績分組區間為
，
，
，
，
，其頻率分布直方圖如圖所示，請你解答下列問題：
（1）求
的值；
（2）成績不低于90分的人就能獲得積分獎勵，求所有參賽者中獲得獎勵的人數；
（3）根據頻率分布直方圖，估計這次知識競賽成績的平均分（用組中值代替各組數據的平均值）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學為研究學生的身體素質與體育鍛煉時間的關系，對該校200名高三學生平均每天體育鍛煉時間進行調查，如表：(平均每天鍛煉的時間單位：分鐘)
平均每天鍛煉的時間/分鐘 |
|
|
|
|
|
|
總人數 | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
將學生日均體育鍛煉時間在
的學生評價為“鍛煉達標”.
（1）請根據上述表格中的統計數據填寫下面
列聯表；
鍛煉不達標 | 鍛煉達標 | 合計 | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合計 |
并通過計算判斷，是否能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為“鍛煉達標”與性別有關？
（2）在“鍛煉達標”的學生中，按男女用分層抽樣方法抽出5人，進行體育鍛煉體會交流，從參加體會交流的5人中，隨機選出2人作重點發言，求恰好選出一名男生的概率.
參考公式：
，其中
臨界值表
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在三棱錐
中，
，
分別是線段
，
的中點，底面
是正三角形，延長
到點
，使得
.
（1）
為線段上確定一點，當
平面
時，求
的值；
（2）當
平面
，且
時，求二面角
的余弦值.
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