Question

（本小題滿分10分）
如圖，⊙O內切于△ABC的邊于D，E，F，AB=AC，連接AD交⊙O于點H，直線HF交BC的延長線于點G。

（1）求證：圓心O在直線AD上；
（2）求證：點C是線段GD的中點。

Answer 1

（1） 
又△ABC是等腰三角形，所以AD是∠CAB的角分線
∴圓心O在直線AD上。（2））連接DF，由（I）知，DH是⊙O的直徑， ∴∠DFH=90°，∴∠FDH+∠FHD=90°，又∠G+∠FHD=90°，∴∠FDH=∠G，又⊙O與AC相切于點F ，∴∠AFH=∠GCF=∠FHD  ∴∠GCF=∠G，∴CG=CF=CD，∴點C是線段GD的中點。

解析試題分析：（I）證明：

 
又△ABC是等腰三角形，所以AD是∠CAB的角分線
∴圓心O在直線AD上。……………5分
（II）連接DF，由（I）知，DH是⊙O的直徑，
∴∠DFH=90°，∴∠FDH+∠FHD=90°
又∠G+∠FHD=90°，∴∠FDH=∠G
又⊙O與AC相切于點F 
∴∠AFH=∠GCF=∠FHD  ∴∠GCF=∠G
∴CG=CF=CD
∴點C是線段GD的中點。   ………………10分
考點：圓的切線的性質定理證明。
點評：本題利用了切線的性質，四邊形的內角和為360度及圓周角定理求解．屬于基礎題型。