Question

已知△ABC是邊長為1的正三角形，點D、E分別是邊AB、AC上的點，線段DE經過△ABC的中心G，

AD

=p

AB

，

AE

=q

AC

（0＜m≤1，0＜n≤1）則

1

p

+

1

q

等于（　　）

• A、3
• B、2
• C、1.5
• D、1

Answer 1

分析：充分運用向量的幾何形式運算及向量平行的定理及推論，把相關向量用已知向量表示即可

解答：解：

AM

=

1

2

(

AB

+

AC

).因為G是△ABC的重心，
所以

AG

=

2

3

AM

=

1

3

•(

AB

+

AC

)；由D、G、E三點共線，有

DG

，

GE

共線，
所以，有且只有一個實數λ，

DG

=λ

GE

.
而

DG

=

AG

-

AD

=

1

3

(

AB

+

AC

)-p

AB

=(

1

3

-p)

AB

+

1

3

AC，

GE

=

AE

-

AG

=q

AC

-

1

3

(

AB

+

AC

)=-

1

3

AB

+(q-

1

3

)

AC

，
所以(

1

3

-p)

AB

+

1

3

AC

=λ[-

1

3

AB

+(q-

1

3

)

AC

]．
又因為

AB

、

AC

不共線，所以

1 3 -p=- 1 3 λ 1 3 =λ(q- 1 3 )

，消去λ，整理得3pq=p+q，故

1

p

+

1

q

=3，
故選A．

點評：建立p與q的關系關鍵是由D，G，E三點共線得出．為此要熟練運用已知向量表示未知向量，平面向量是高中數學中最基本、最常用、最常考的知識之一，注意平面向量與其他知識的聯系．