Question

已知△ABC是邊長為3，4，5的直角三角形，點P是此三角形內切圓上一動點，分別以PA、PB、PC為直徑作圓，則這三個圓的面積之和的最大值與最小值的和為（　　）

• A、12π
• B、10π
• C、8π
• D、6π

Answer 1

分析：由△ABC是邊長為3，4，5的直角三角形，點P是此三角形內切圓上一動點，建立平面直角坐標系，求三個圓的面積之和的最大值與最小值的和，轉化為點P到三角形三個定點的距離的平方和的最值問題．

解答：解：建立坐標系 設A（3，0），B（0，4），C（0，0），P（x，y），△ABC內切圓半徑為r．
∵三角形ABC面積 S=

1

2

AB×AC=

1

2

（AB+AC+BC）r=12，解得 r=1
即內切圓圓心坐標為 （1，1）
∵P在內切圓上
∴（x-1）²+（y-1）²=1
∵P點到A，B，C距離的平方和為 d=x²+y²+（x-3）²+y²+x²+（y-4）²=3（x-1）²+3（y-1）²-2y+19=22-2y
顯然 0≤y≤2 即 18≤d≤22，
∴

9π

2

≤

πd

4

≤

11π

2

即以PA，PB，PC為直徑的三個圓面積之和最大值為

11π

2

最小值為

9π

2

．
故選B．

點評：考查了解析法求最值，求三個圓的面積之和的最大值與最小值的和轉化為點P到三角形三個定點的距離的平方和的最值問題，體現了轉化的思想方法．