Question

【題目】已知函數f（x）的定義域是D，若存在常數m、M，使得m≤f（x）≤M對任意x∈D成立，則稱函數f（x）是D上的有界函數，其中m稱為函數f（x）的下界，M稱為函數f（x）的上界；特別地，若“=”成立，則m稱為函數f（x）的下確界，M稱為函數f（x）的上確界． （Ⅰ）判斷 是否是有界函數？說明理由；
（Ⅱ）若函數f（x）=1+a2x+4x（x∈（﹣∞，0））是以﹣3為下界、3為上界的有界函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）若函數 ，T（a）是f（x）的上確界，求T（a）的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）= ﹣ = ， ∵x≥0，∴ + ≥1，
∴0＜f（x）≤1，函數f（x）是有界函數，
令t=3x ， 則t＞0，
∴y=t2﹣3t≥﹣1即g（x）∈[﹣1，+∞），
∴g（x）不是有界函數；
（Ⅱ）∵函數f（x）=1+a2x+4x ， （x∈（﹣∞，0））是以﹣3為下界，3為上界的有界函數，
∴﹣3≤1+a2x+4x≤3在（﹣∞，0）上恒成立，
即﹣2x﹣ ≤a≤ ﹣2x在（﹣∞，0）上恒成立，
令t=2x ， g（t）=﹣t﹣ ，h（t）=﹣t+ ，
∵x＜0，∴0＜t＜1，
設t1 ， t2∈（0，1），且t1＜t2 ，
則g（t1）﹣g（t2）= ＜0，
∴g（t）在（0，1）遞增，
故g（t）＜g（1）=﹣5，∴a≥﹣5，h（t1）﹣h（t2）＞0，
∴h（t）在（0，1）上是減函數，
故h（t）＞h（1）=1，
∴a≤1，
綜上，實數a的范圍是[﹣5，1]；
（Ⅲ）由y= ，得：a2x= ，
∵x∈[0，1]，a＞0，
∴a≤a2x≤2a，
即a≤ ≤2a，
∴ ≤y≤ ，
故T（a）= =﹣1+ ，
∵a＞0，
∴T（a）的范圍是（﹣1，1）
【解析】（Ⅰ）根據有界函數的定義分別求出f（x），g（x）的范圍，從而判斷是否有界即可；（Ⅱ）問題轉化為﹣2x﹣ ≤a≤ ﹣2x在（﹣∞，0）上恒成立，令t=2x ， g（t）=﹣t﹣ ，h（t）=﹣t+ ，根據函數的單調性求出t的范圍即可；（Ⅲ）求出a≤ ≤2a，根據 ≤y≤ ，得到T（a）= ，從而求出T（a）的范圍即可．
【考點精析】利用函數的最值及其幾何意義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值．