Question

【題目】已知f（x）=sin（x+ ）+sin（x﹣ ）+cosx+a（a∈R，a是常數）．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）若a=0，作出y=f（x）在[﹣π，π]上的圖象；
（3）若x∈[﹣ ， ]時，f（x）的最大值為1，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=sin（x+ ）+sin（x﹣ ）+cosx+a，

=sinxcos +cosxsin +sinxcos ﹣cosxsin +cosx+a，

= sinx+cosx+a，

=2sin（x+ ）+a，

∴函數f（x）的最小正周期T= =2π

（2）解：當a=0時，y=f（x）=2sin（x+ ）

列表如下：

x	﹣π	﹣	﹣			π
x+	﹣	﹣	0		0
y	﹣1	﹣2	0	2	0	﹣1

對應的圖象如下：

（3）解：由x∈[﹣ ， ]時，由（2）可知：當x+ = ，即x= 時，f（x）取得最大值，最大值為2+a，

∴a+2=1，即a=﹣1，

∴a的值﹣1

【解析】（1）由題意可知：f（x）=sin（x+ ）+sin（x﹣ ）+cosx+a，利用兩角和差的正弦公式及輔助角公式，即可求得f（x）=2sin（x+ ）+a，由函數f（x）的最小正周期T= =2π；（2）由當a=0，y=f（x）=2sin（x+ ），采用五點作圖法，即可求得y=f（x）在[﹣π，π]上的圖象；（3）由（2）可知：y=f（x）在[﹣ ， ]上的圖象可知，當x+ = ，即x= 時，f（x）取得最大值，最大值為2+a，則a+2=1，可得a的值﹣1．