Question

【題目】已知是邊長為2的正三角形，是等腰直角三角形.把沿其斜邊翻折到，使，設為的中點.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；（2）.

【解析】

（1）取中點，由勾股定理可得，又是等腰直角三角形，可證，再根據面面垂直的判定定理即可證明結果；

（2）方法一：由（1）知，、、兩兩垂直，分別以、、為、、軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量法求二面角，即可求出結果；

解法二：等積法

在和中，分別用余弦定理得：中線長， ，又勾股定理可證①；在中解得，在平面內過作②，由等積法得，于是.由①②得、所成的角（或其補角）就是二面角的平面角，再根據余弦定理即可求出結果.

（1）證明：取中點，連、，由已知易得，，于是，從而，另一方面，是等腰直角三角形，故，且、相交，所以平面，于是平面平面；

（2）由（1）知，、、兩兩垂直，分別以、、為、、軸，建立空間直角坐標系，由已知得，，，，.于是，，，，設平面的法向量是，則解得，

所以，同理平面的法向量，

設二面角為，則.

（2）解法二：等積法

由于為的中點，且設，在和中，分別用余弦定理得：中線長，同理，從而是直角三角形，且①.另一方面在中解得，在平面內過作②，由等積法得，于是.由①②得、所成的角（或其補角）就是二面角的平面角.由，得，設二面角的度數為，于是.