Question

【題目】已知函數f（x）=ax﹣lnx，F（x）=ex+ax，其中x＞0．
（1）若a＜0，f（x）和F（x）在區間（0，ln3）上具有相同的單調性，求實數a的取值范圍；
（2）設函數h（x）=x2﹣f（x）有兩個極值點x1、x2 ， 且x1∈（0， ），求證：h（x1）﹣h（x2）＞ ﹣ln2．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=a﹣ = ，F′（x）=ex+a，x＞0，

∵a＜0，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，即f（x）在（0，+∞）上單調遞減，

當﹣1≤a＜0時，F′（x）＞0，即F（x）在（0，+∞）上單調遞增，不合題意；

當a＜﹣1時，由F′（x）＞0，得x＞ln（﹣a），由F′（x）＜0，得0＜x＜ln（﹣a），

∴F（x）的單調減區間為（0，ln（﹣a）），單調增區間為（ln（﹣a），+∞）．

∵f（x）和F（x）在區間（0，ln3）上具有相同的單調性，

∴ln（﹣a）≥ln3，解得a≤﹣3，

綜上，a的取值范圍是（﹣∞，﹣3]

（2）解：證明：h（x）=x2﹣ax+lnx，∴h′（x）= ，（x＞0），

x1x2= ，則x2= ，

h（x1）﹣h（x2）=lnx1+x12﹣ax1﹣lnx2﹣x22+ax2

=ln +[x1+x2﹣2（x1+x2）（x1﹣x2）

=ln2+2lnx1﹣x12+ ，

令g（x1）=ln2+2lnx1﹣x12+ ，

則g′（x）= ﹣2x1﹣ =﹣ ，

∵0＜x1＜ ，∴g′（x1）＜0，

∴g（x1）在（0， ）上單調遞減，

∴g（x1）＞g（ ），而g（ ）= ﹣ln2，

即g（x1）＞ ﹣ln2，

∴h（x1）﹣h（x2）＞ ﹣ln2

【解析】（1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，結合函數的單調性確定a的范圍即可；（2）先求出h（x1）﹣h（x2）=ln2+2lnx1﹣x12+ ，構造函數，求出函數的導數，得到函數的單調區間，求出函數的最小值，從而證明結論．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值即可以解答此題．