Question

【題目】已知橢圓：的左右焦點分別為、，左右頂點分別是、，長軸長為，是以原點為圓心，為半徑的圓的任一條直徑，四邊形的面積最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）不經過原點的直線：與橢圓交于、兩點，

①若直線與的斜率分別為，，且，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標；

②若直線的斜率是直線、斜率的等比中項，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由題可得，再由四邊形的面積最大值為列方程即可求得，問題得解。

（2）①設，，聯立直線與橢圓方程可得：，即可表示出，，再整理，可得：，問題得解。

②由直線的斜率是直線、斜率的等比中項即可求得，再由弦長公式求得，求出點到直線的距離，即可表示，再利用基本不等式即可得解。

（1）由題可得：，即：，

當與軸重合時，四邊形的面積最大值

由已知可得：，解得：

所以橢圓方程為：.

（2）①證明：設，，

將代入橢圓方程得：，

，

∴，，

∵，

∴，

解得：，

∴直線的方程為，即，

故直線恒過定點；

②由直線的斜率是直線，斜率的等比中項，

即有，即，

∴，整理得：，解得，

代入有，

，

點到直線的距離，

∴ ，

（當且僅當時，等號成立）

所以面積的取值范圍是：.