Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）用單調(diào)性的定義證明f（x）為R上的增函數(shù)；
（3）若對(duì)任意的t∈R，不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：x∈R，∵ ，

∴f（x）是奇函數(shù)

（2）證明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，則

= = ，

∵x1＜x2，∴ ，

∵ ，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在R上是增函數(shù)

（3）解：∵f（x）為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，

∴不等式f（mt2+1）+f（1﹣mt）＞0化為f（mt2+1）＞﹣f（1﹣mt）=f（mt﹣1），

∴mt2+1＞mt﹣1對(duì)任意的t∈R恒成立，

即mt2﹣mt+2＞0對(duì)任意的t∈R恒成立．

①m=0時(shí)，不等式化為2＞0恒成立，符合題意；

②m≠0時(shí)，有 即0＜m＜8．

綜上，m的取值范圍為0≤m＜8

【解析】（1）根據(jù)f（-x）=-f（x）是否成立進(jìn)行判斷；（2）任取x12∈R，且x1＜x2，作差法比較f（x1）與f（x2）的大小；（3）根據(jù)f（-x）=-f（x）可知f（1-mt）=-f（mt-1），將原式轉(zhuǎn)化為mt2﹣mt+2＞0對(duì)任意的t∈R恒成立.
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性是解答本題的根本，需要知道單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．