Question

【題目】已知函數 f（x）=ax+（1﹣a）lnx+（a∈R）

（Ⅰ）當a=0時，求 f（x）的極值；

（Ⅱ）當a＜0時，求 f（x）的單調區間；

（Ⅲ）方程 f（x）=0的根的個數能否達到3，若能請求出此時a的范圍，若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】

【解析】

試題（Ⅰ）代入a的值，求出定義域，求導，利用導數求出單調區間，即可求出極值；（Ⅱ）直接對f（x）求導，根據a的不同取值，討論f（x）的單調區間；（Ⅲ）由第二問的結論，即函數的單調區間來討論f（x）的零點個數．

試題解析：（Ⅰ）f（x）其定義域為（0，+∞）．

當a=0時，f（x）=，f'（x）=．

令f'（x）=0，解得x=1，

當0＜x＜1時，f'（x）＜0；當x＞1時，f'（x）＞0．

所以f（x）的單調遞減區間是（0，1），單調遞增區間是（1，+∞）；

所以x=1時，f（x）有極小值為f（1）=1，無極大值

（Ⅱ） f'（x）=a﹣（x＞0）

令f'（x）=0，得x=1或x=﹣

當﹣1＜a＜0時，1＜﹣，令f'（x）＜0，得0＜x＜1或x＞﹣，

令f'（x）＞0，得1＜x＜﹣；

當a=﹣1時，f'（x）=﹣．

當a＜﹣1時，0＜﹣＜1，令f'（x）＜0，得0＜x＜﹣或x＞1，

令f'（x）＞0，得﹣＜a＜1；

綜上所述：

當﹣1＜a＜0時，f（x）的單調遞減區間是（0，1），（﹣），

單調遞增區間是（1，﹣）；

當a=﹣1時，f（x）的單調遞減區間是（0，+∞）；

當a＜﹣1時，f（x）的單調遞減區間是（0，﹣），（1，+∞），單調遞增區間是

（Ⅲ）a≥0∴

f'（x）=0（x＞0）僅有1解，方程f（x）=0至多有兩個不同的解．

（注：也可用fmin（x）=f（1）=a+1＞0說明．）

由（Ⅱ）知﹣1＜a＜0時，極小值 f（1）a+1＞0，方程f（x）=0至多在區間（﹣）上有1個解．

a=﹣1時f（x）單調，方程f（x）=0至多有1個解．；

a＜﹣1時，，方程

f（x）=0僅在區間內（0，﹣）有1個解；

故方程f（x）=0的根的個數不能達到3．