Question

【題目】設函數，.

（1）在處的切線方程；

（2）當時，函數有兩個極值點，求的取值范圍；

（3）若在點處的切線與軸平行，且函數在時，其圖象上每一點處切線的傾斜角均為銳角，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) y=0.

(2).

(3).

【解析】分析：（1）先利用導數求切線的斜率，再寫出切線的方程.(2)先求導得，轉化為與的圖像的交點有兩個，再利用數形結合分析兩個函數的圖像得到的取值范圍.(3)先轉化為當時，恒成立，即

，再構造函數求其最小值，令其最小值大于零，得a的取值范圍.

詳解：（1）由題得所以切線方程為y=0.

（2) 當時，，，

所以有兩個極值點就是方程有兩個解，

即與的圖像的交點有兩個.

∵，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.有極大值又因為時，；當時，.

當時與的圖像的交點有0個；

當或時與的圖像的交點有1個；

當時與的圖象的交點有2個；

綜上.

（3）函數在點處的切線與軸平行，

所以且，因為，

所以且；

在時，其圖像的每一點處的切線的傾斜角均為銳角，

即當時，恒成立，即

，

令，∴

設，，因為，所以，∴，

∴在單調遞增，即在單調遞增，

∴，當且時，，

所以在單調遞增；

∴成立

當，因為在單調遞增，所以，，

所以存在有；

當時，，單調遞減，所以有，不恒成立；

所以實數的取值范圍為.