Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）經過點（2， ）且離心率等于 ，點A，B分別為橢圓C的左右頂點，點P在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）M，N是橢圓C上非頂點的兩點，滿足OM∥AP，ON∥BP，求證：三角形MON的面積是定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：橢圓C： （a＞b＞0）經過點（2， ）且離心率等于 ，

可得 = ，即： ， ，解得a2=8，b2=4，

所求橢圓方程為：

（2）證明：由題意M，N是橢圓C上非頂點的兩點，

且AP∥OM，BP∥ON，設P（2 cosθ，2sinθ）

則直線AP，BP斜率必存在且不為0，

又由已知kAPkBP= = =- ．

因為AP∥OM，BP∥ON，所以kOMkON=-

設直線MN的方程為x=my+t，代入橢圓方程 ，

得（2+m2）y2+2mty+t2﹣8=0…①，

設M，N的坐標分別為M（x1，y1），N（x2，y2），

則y1+y2=﹣ ，y1y2= ，x1x2=

m2y1y2+mt（y1+y2）+t2= ，

所以kOMkON= = =﹣ ，得t2=2m2+4，

又S△MON= |t||y1﹣y2|= = = = =2 ，

即△MON的面積為定值2

【解析】（1）利用橢圓的離心率以及橢圓結果的點，求出長半軸與短半軸的長，即可得到橢圓方程；（2）求出kAPkBP=﹣ ，設直線MN的方程為x=my+t，代入橢圓方程，利用kOMkON=﹣ ，推出t2=2m2+4，利用三角形的面積公式，化簡求解即可推出結論．
【考點精析】掌握橢圓的標準方程是解答本題的根本，需要知道橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．