Question

【題目】在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝4cos θ.

(1)求出圓C的直角坐標方程；

(2)已知圓C與x軸相交于A，B兩點，直線l：y＝2x關于點M(0，m)(m≠0)對稱的直線為l′.若直線l′上存在點P使得∠APB＝90°，求實數m的最大值.

Answer 1

【答案】(1) x2＋y2－4x＝0. (2) －2.

【解析】

（1）由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ，利用互化公式可得圓C的普通方程與標準方程．

（2）l′的方程為y=2x+2m，而AB為圓C的直徑，故直線l′上存在點P使得∠APB=90°的充要條件是直線l′與圓C有公共點，根據點到直線的距離公式即可得出．

(1)由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，

即x2＋y2－4x＝0，

故圓C的直角坐標方程為x2＋y2－4x＝0.

(2)l：y＝2x關于點M(0，m)對稱的直線l′的方程為y＝2x＋2m，而AB為圓C的直徑，故直線l′上存在點P使得∠APB＝90°的充要條件是直線l′與圓C有公共點，

故≤2，解得－2－≤m≤－2，于是，實數m的最大值為－2.