Question

【題目】如圖，某山地車訓練中心有一直角梯形森林區域，其四條邊均為道路，其中，，千米，千米，千米．現有甲、乙兩名特訓隊員進行野外對抗訓練，要求同時從地出發勻速前往地，其中甲的行駛路線是，速度為千米/小時，乙的行駛路線是，速度為千米/小時．

（1）若甲、乙兩名特訓隊員到達地的時間相差不超過分鐘，求乙的速度的取值范圍；

（2）已知甲、乙兩名特訓隊員攜帶的無線通訊設備有效聯系的最大距離是千米．若乙先于甲到達地，且乙從地到地的整個過程中始終能用通訊設備對甲保持有效聯系，求乙的速度的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）乙的速度ν的取值范圍為，（單位千米/小時）（2）

【解析】

（1）過點B作直線AD的垂線，垂足為E．分別求得甲、乙的運動時間，列不等式求解即可

（2）討論乙運動到AB,BC,CD時，甲、乙之間的距離的平方為的表達式，求函數最值，列不等式求解即可

（1）如圖．過點B作直線AD的垂線，垂足為E．

因為四邊形ABCD為直角梯形，所以四邊形EBCD為矩形，則，，

又在直角三角形ABE中，，即

則由題意得，甲從A地出發勻速前往D地所需時間為（小時），

乙從A地出發勻速前往D地所需時間為（小時），

由題意可知，即，解得，

所求乙的速度ν的取值范圍為，（單位千米/小時）．

（2）設經過t小時，甲、乙之間的距離的平方為千米，

由于乙先于甲到達D地，所以，解得，

①當時，即時，

因為，所以當時，取得最大值，

且，

由題意可得，解得，

②當時，即時，

，

因為，所以，則當時，取得最大值，

且，解得

③當時，即時，

，

因為，所以，

則函數在區間上單調遞減，即當時，取得最大值，

且，解得，

由①②③同時成立可得，又因為，所以

即所求乙的速度v的取值范圍為．